Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3(an+ 1 2 )

an+ 1 2

=3，從而{a_n+

1

2

}是首項(xiàng)為

3

2

，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出a_n=

3n-1

2

．
（Ⅱ）由

1

an

=

2

3n-1

＜

2

3n-3n-1

=

1

3n-1

，利用放縮法能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1，
∴

an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3(an+ 1 2 )

an+ 1 2

=3，
∵a1+

1

2

=

3

2

，
∴{a_n+

1

2

}是首項(xiàng)為

3

2

，公比為3的等比數(shù)列，
∴an+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴a_n=

3n-1

2

．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

1

an

=

2

3n-1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an

=

2

3n-1

＜

2

3n-3n-1

=

1

3n-1

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，

1

a1

=1＜

3

2

，成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．