Question

（本小題滿分14分）

已知向量, 向量, 且, 動點的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程;  

（2）證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 且(O為坐標(biāo)原點),并求出該圓的方程;

 

 

Answer 1

【答案】

（1）軌跡E的方程為：。

（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A, B,

且.                 

【解析】解:（1）因為,, ,

所以,    所以，軌跡E的方程為：. …………… 4分

 (2).設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,                               …………………… 6分

要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,

則使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即

即，恒成立.                                       …………………… 10分

又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A, B,

且.