Question

已知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃＞0，則f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值

1. A.
   恒為正數(shù)
2. B.
   恒為負(fù)數(shù)
3. C.
   恒為0
4. D.
   可正可負(fù)

Answer 1

A
分析：由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)數(shù)列，知取任何x₂＞x₁，總有f（x₂）＞f（x₁），由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，知f（0）=0，所以當(dāng)x＞0，f（0）＞0，當(dāng)x＜0，f（0）＜0．由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，知a₁+a₅＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數(shù)．
解答：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)數(shù)列，
∴取任何x₂＞x₁，
總有f（x₂）＞f（x₁），
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0，f（0）＞0，
當(dāng)x＜0，f（0）＜0．
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
a₁+a₅=2a₃，
a₃＞0，
∴a₁+a₅＞0，
則f（a₁）+f（a₅）＞0，
∵f（a₃）＞0，
∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．