Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，2n-1≤a_n≤2n．
（1）若a₁，a₂，a₃是等差數(shù)列，且a₁=1，求公差d的取值范圍；
（2）若a₁，a₂，a₃是等差數(shù)列，求公差d的最大值，并給出一個d的最大值時相應的等差數(shù)列a₁，a₂，a₃；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 本題（1）利用a₁，a₂，a₃是等差數(shù)列，得到首項與公差的關系式，再將a₁=1代入，即可得到公差d的取值范圍；（2）利用a₁，a₂，a₃是等差數(shù)列，得到首項與公差的關系式，再利用對任意的正整數(shù)n，2n-1≤a_n≤2n，得到首項、公差滿足的條件，利用不等式的性質(zhì)或者線性規(guī)劃，可得到公差d的最大值，
則可出一個d的最大值時相應的等差數(shù)列a₁，a₂，a₃；（3）利用遞推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），得到數(shù)列的通項公式，再根據(jù)2n-1≤a_n≤2n，得到通項滿足的關系式，根據(jù)恒成立的意義，求出a₁的取值范圍．

解答 解：（1）∵三個數(shù)a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，a₁=1，公差為d，
∴a₂=a₁+d=1+d，a₃=a₁+2d=1+2d．
∵對任意的正整數(shù)n，2n-1≤a_n≤2n，
∴取n=2，則3≤a₂≤4，
取n=3，則5≤a₃≤6，
∴3≤1+d≤4，5≤1+2d≤6，
∴2$≤d≤\frac{5}{2}$．
∴公差d的取值范圍2$≤d≤\frac{5}{2}$．
（2））∵三個數(shù)a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，公差為d，
∴a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d．
∵對任意的正整數(shù)n，2n-1≤a_n≤2n，
∴取n=1，則1≤a₁≤2，
取n=2，則3≤a₂≤4，
取n=3，則5≤a₃≤6，
∴3≤a₁+d≤4，
5≤a₁+2d≤6，
∴3-a₁≤d≤4-a₁，
5-a₁≤2d≤6-a₁，
∴2≤d≤$\frac{5}{2}$．
∴公差d的最大值為$\frac{5}{2}$，
此時等差數(shù)列a₁，a₂，a₃分別為：1，$\frac{7}{2}$，6．
（3）∵數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{2n+1}=\frac{{a}_{n}}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{2n-1}=\frac{{a}_{1}}{1}$，
∴a_n=（2n-1）a₁．
∵對任意的正整數(shù)n，2n-1≤a_n≤2n，
∴2n-1≤（2n-1）a₁≤2n，
∴$1≤{a}_{1}≤\frac{2n}{2n-1}$．
∵$\frac{2n}{2n-1}=1+\frac{1}{2n-1}$關于正整數(shù)n單調(diào)遞減，
∴$1+\frac{1}{2n-1}＞1$，
∴1≤a₁≤1，
∴a₁=1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、不等式的基本性質(zhì)、線性規(guī)劃、構(gòu)造數(shù)列求通項，本題有一定的計算量，難度適中，屬于中檔題．