Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-

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x2+6x-a．
（1）對于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂∈[-1，0]，求證：|f′（x₁）-f′（x₂）|≤12；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后根據(jù)二次函數(shù)在x∈[-1，0]上的單調(diào)性可求出f′（x）_max與f′（x）_min，從而對任意的x₁，x₂∈[-1，0]，則|f′（x₁）-f′（x₂）|≤|f′（x）_max-f′（x）_min|，得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)f'（x）=0的值分段討論f'（x）的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極大值和極小值，只需當(dāng)極小值大于0或極大值大于0，就使方程f（x）=0僅有一個實(shí)根．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵f（x）=x³-

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x2+6x-a．
∴f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∵對任意的x∈[-1，0]，f′（x）_max=f（-1）=18，f′（x）_min=f（0）=6
∴對任意的x₁，x₂∈[-1，0]，|f′（x₁）-f′（x₂）|≤|f′（x）_max-f′（x）_min|≤12
（2）因?yàn)?nbsp;當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0；
所以 當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值f（1）=

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-a；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值 f（2）=2-a；
故當(dāng)f（2）＞0 或f（1）＜0時(shí)，方程f（x）=0僅有一個實(shí)根．
解得 a＜2或a＞

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．
∴a的取值范圍為a＜2或a＞

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點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及根的存在性及根的個數(shù)判斷，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．