Question

已知△ABC的周長是36，且A（0，-5），B（0，5），求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)△ABC的周長是36，且A（0，-5），B（0，5），進(jìn)一步確定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判斷頂點(diǎn)C的軌跡是以A（0，-5），B（0，5）為焦點(diǎn)以原點(diǎn)為中心，x軸和y軸為對稱軸的橢圓．進(jìn)一步根據(jù)a、b、c的關(guān)系求出橢圓的方程．

解答： 解：已知△ABC的周長是36，且A（0，-5），B（0，5）
則|AB|=10，|AC|+|BC|=26＞|AB|=10
所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡是以A（0，-5），B（0，5）為焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為中心，以x軸和y軸為對稱軸的橢圓．
橢圓方程設(shè)為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
令|AC|+|BC|=26=2a
解得：a=13
令|AB|=10=2c
解得：c=5
進(jìn)一步解得：b²=a²-c²=169-25=144
求得△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為：

y2

169

+

x2

144

=1
故答案為：△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為：

y2

169

+

x2

144

=1

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的方程及相關(guān)的運(yùn)算問題．