Question

14．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，作圓x²+y²=a²的切線FM與y軸交于點P（0，b），切圓于點M，則雙曲線的離心率e為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得F（c，0），P（0，b），求出直線PF的方程，由直線PF與圓x²+y²=a²相切的條件：d=r，運用點到直線的距離公式和a，b，c和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F（c，0），P（0，b），
直線PF的方程為$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
由直線PF與圓x²+y²=a²相切，可得
d=r，即$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=a，
即有a²b²+a²c²=b²c²，
∴a²（c²-a²）+a²c²=（c²-a²）c²，
由e=$\frac{c}{a}$，整理，得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，或e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或e=-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍）．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，是中檔題．