Question

5．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若MF⊥x軸，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程算出其焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），得到|MF|=p．設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，由雙曲線的右焦點(diǎn)為F算出雙曲線的焦距|FF'|=p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=$\sqrt{2}$p，再由雙曲線的定義算出2a=（$\sqrt{2}$-1）p，利用雙曲線的離心率公式加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
由MF與x軸垂直，令x=$\frac{p}{2}$，可得|MF|=p，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的實(shí)半軸為a，半焦距c，另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，
由拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，
即c=$\frac{p}{2}$，可得雙曲線的焦距|FF'|=2c=p，
由于△MFF'為直角三角形，則|MF'|=$\sqrt{2}$p，
根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|MF'|-|MF|=$\sqrt{2}$p-p，
可得a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$p．
因此，該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題給出共焦點(diǎn)的雙曲線與拋物線，在它們的交點(diǎn)在x軸上射影恰好為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求雙曲線的離心率．著重考查了拋物線和雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．