Question

有人玩擲正四面體骰子走跳棋的游戲，已知正四面體骰子四個面上分別印有A，B，C，D，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，若擲出后骰子為A面，棋子向前跳2站，若擲出后骰子為B，C，D中的一面，則棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n（n∈N）．
（Ⅰ）求P₀，P₁，P₂；
（Ⅱ）求證：Pn-Pn-1=-

1

4

(Pn-1-Pn-2)；
（Ⅲ）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）理解P₀，P₁，P₂的含義分別計算即可；
（Ⅱ）棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出后得到A面，第二種，棋子先到第 n-1站，又?jǐn)S出后得到B，C，D 中的一面，
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，再用累加法求解

解答：解：（1）依題意，得P₀=1，P₁=

3

4

，P₂=

13

16

（Ⅱ）設(shè)棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出后得到A面，其概率為

1

4

Pn-2；第二種，棋子先到第 n-1站，又?jǐn)S出后得到B，C，D 中的一面，其概率為

3

4

Pn-1，由于以上兩種可能是互斥的，所以Pn= 

3

4

Pn-1+

1

4

Pn-2，即有Pn-Pn-1=-

1

4

(Pn-1-Pn-2)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知數(shù)列 {P_n-P_n-1}是首項為P₁-P₀=-

1

4

，公比為 -

1

4

的等比數(shù)列．
于是有P1-P0=-

1

4

，P99-P98=(- 

1

4

)99．
把以上各式相加，得．P99=

4

5

[1-(-

1

4

)100]
因此，獲勝的概率為

4

5

[1-(-

1

4

)100]

點評：將概率與數(shù)列聯(lián)系起來，關(guān)鍵是合理地將問題等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新數(shù)列，從而利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解．