Question

（本小題滿分14分）有人玩擲正四面體骰子走跳棋的游戲，已知正四面體骰子四個面上分別印有，棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，若擲出后骰子為面，棋子向前跳2站，若擲出后骰子為中的一面，則棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，該游戲結束．設棋子跳到第n站的概率為（）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

解：（1）依題意，得.………………………………………2分

……………………………………………………4分

（Ⅱ）設棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：第一種，棋子先到第站，又擲出后得到A面，其概率為；第二種，棋子先到第站，又擲出后得到中的一面，其概率為，由于以上兩種可能是互斥的，所以，

即有.………………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知數列是首項為，公比為的等比數列.

于是有.

把以上各式相加，得　.

因此，獲勝的概率為．………………………………………………14分