Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－1與x＝2處都取得極值．

(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c<c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，由題意得

即解得

∴f(x)＝x³－x²－6x＋c，f′(x)＝3x²－3x－6.

令f′(x)<0，解得－1<x<2；

令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.

∴f(x)的減區(qū)間為(－1,2)，

增區(qū)間為(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；

在(－1,2)上單調(diào)遞減；在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．

∴x∈[－2,3]時(shí)，f(x)的最大值即為

f(－1)與f(3)中的較大者．

f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.

∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得最大值．

要使f(x)＋c<c²，只需c²>f(－1)＋c，

即2c²>7＋5c，解得c<－1或c>.

∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪.