Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（2）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

2

，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)F′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

2

，e]上有兩個不等解等價于 a=

2lnx

x2

在[

2

，e]上有兩個不等解，令h（x）=

2lnx

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得出它的最小值，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）F（x）=ax²-2lnx  （x＞0）所以 F′（x）=

2(ax2-1)

x

 （x＞0）
所以當(dāng)a＞0時，函數(shù)在（0，

1

a

）上是減函數(shù)，在 （

1

a

，+∞）上是增函數(shù)，
a≤0時，函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

2

，e]上有兩個不等解，
等價于 a=

2lnx

x2

在[

2

，e]上有兩個不等解
令h（x）=

2lnx

x2

則 h′（x）=

2x(1-2lnx)

x4

  
故函數(shù)h（x）在（

2

，

e

）上是增函數(shù)，在 （

e

，e）上是減函數(shù)．
所以 h（x）_max=h（

e

）=

1

e

又因為h（e）=

2

e2

＜h（2）=

ln2

2

=h （

2

）   
故  h（x）_min=h （

2

）=

ln2

2

所以

ln2

2

≤a＜

1

e

．
即a的取值范圍：

ln2

2

≤a＜

1

e

．

點評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．