已知函數(shù)f(x)=|x|+
m
x
-1(x≠0).
(1)當(dāng)m=2時(shí),判斷f(x)在(-∞,0)的單調(diào)性,并用定義證明.
(2)若對(duì)任意x∈R,不等式 f(2x)>0恒成立,求m的取值范圍;
(3)討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)m=2時(shí),利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f(x)在(-∞,0)的單調(diào)性,并用定義證明.
(2)利用參數(shù)分離法將不等式 f(2x)>0恒成立,進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求m的取值范圍;
(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)當(dāng)m=2,且x<0時(shí),f(x)=-x+
2
x
-1
是單調(diào)遞減的.
證明:設(shè)x1<x2<0,則f(x1)-f(x2)=-x1+
2
x1
-1-(-x2+
2
x2
-1)
=(x2-x1)+(
2
x1
-
2
x2
)
=(x2-x1)+
2(x2-x1)
x1x2
=(x2-x1)(1+
2
x1x2
)

又x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以(x2-x1)(1+
2
x1x2
)>0

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故當(dāng)m=2時(shí),f(x)=-x+
2
x
-1
在(-∞,0)上單調(diào)遞減的.
(2)由f(2x)>0得|2x|+
m
2x
-1>0
,
變形為(2x2-2x+m>0,即m>2x-(2x2
2x-(2x)2=-(2x-
1
2
)2+
1
4
,
當(dāng)2x=
1
2
即x=-1時(shí)(2x-(2x)2)max=
1
4
,
所以m>
1
4

(3)由f(x)=0可得x|x|-x+m=0(x≠0),變?yōu)閙=-x|x|+x(x≠0)
g(x)=x-x|x|=
-x2+x,x>0
x2+x,x<0

作y=g(x)的圖象及直線y=m,由圖象可得:
當(dāng)m>
1
4
m<-
1
4
時(shí),f(x)有1個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)m=
1
4
或m=0或m=-
1
4
時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)0<m<
1
4
-
1
4
<m<0
時(shí),f(x)有3個(gè)零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷,以及不等式恒成立問題的求解,利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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3
b
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(2)若a=1,△ABC的面積S=2
3
,求b2+c2

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7
14

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AB
=(Sn
1
4
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CD
=(1,-
1
2
),且滿足
AB
CD

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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(3)若數(shù)列對(duì)任意的n∈N*都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
n
2
-1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

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a
3
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(1)I(2r)=
 
;
(2)
2m-1
n=1
aI(n)=
 

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