Question

20．已知不恒為零的函數(shù)f（x）在定義域[0，1]上的圖象連續(xù)不間斷，滿足條件f（0）=f（1）=0，且對任意x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{3}$|x₁-x₂|，則對下列四個結(jié)論：
①若f（1-x）=f（x）且0≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{20}$x（x-$\frac{1}{2}$），則當$\frac{1}{2}$＜x≤1時，f（x）=$\frac{1}{20}$（1-x）（$\frac{1}{2}$-x）；
②若對?x∈[0，1]都有f（1-x）=-f（x），則y=f（x）至少有3個零點；
③對?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{6}$恒成立；
④對?x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{6}$恒成立．
其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)已知中f（0）=f（1）=0，且對任意x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{3}$|x₁-x₂|，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：由f（1-x）=f（x）得函數(shù)f（x）圖象關于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
若0≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{20}$x（x-$\frac{1}{2}$），則當$\frac{1}{2}$＜x≤1時，f（x）=$\frac{1}{20}$（1-x）（$\frac{1}{2}$-x），故①正確；
∵f（1-x）=-f（x），故函數(shù)圖象關于（$\frac{1}{2}$，0）對稱，
又由f（0）=f（1）=0，
故函數(shù)f（x）至少有3個零點0，$\frac{1}{2}$，1．故②正確；
∵當0≤x≤$\frac{1}{2}$時，|f（x）|≤$\frac{1}{3}$x≤$\frac{1}{6}$；
當$\frac{1}{2}$＜x≤1時，則1-x≤$\frac{1}{2}$，
|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤$\frac{1}{3}$（1-x）≤$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
∴?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{6}$恒成立，故③正確，
設?x₁，x₂∈[0，1]，當|x₁-x₂|≤$\frac{1}{2}$時，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{3}$|x₁-x₂|≤$\frac{1}{6}$，
當|x₁-x₂|＞$\frac{1}{2}$時，|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|
≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤$\frac{1}{3}$|x₁-0|+$\frac{1}{3}$|1-x₂|
=$\frac{1}{3}$×1+$\frac{1}{3}$（1-x₂）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$（x₂-x₁）≤$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．故④正確 
故選D．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的對稱性，函數(shù)恒成立，函數(shù)的零點，絕對值三角不等式等知識點，難度中檔．