20.已知不恒為零的函數(shù)f(x)在定義域[0,1]上的圖象連續(xù)不間斷,滿(mǎn)足條件f(0)=f(1)=0,且對(duì)任意x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|,則對(duì)下列四個(gè)結(jié)論:
①若f(1-x)=f(x)且0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)=$\frac{1}{20}$x(x-$\frac{1}{2}$),則當(dāng)$\frac{1}{2}$<x≤1時(shí),f(x)=$\frac{1}{20}$(1-x)($\frac{1}{2}$-x);
②若對(duì)?x∈[0,1]都有f(1-x)=-f(x),則y=f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn);
③對(duì)?x∈[0,1],|f(x)|≤$\frac{1}{6}$恒成立;
④對(duì)?x1,x2∈[0,1],|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{1}{6}$恒成立.
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有(  )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

分析 根據(jù)已知中f(0)=f(1)=0,且對(duì)任意x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|,逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假,可得答案.

解答 解:由f(1-x)=f(x)得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱(chēng),
若0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)=$\frac{1}{20}$x(x-$\frac{1}{2}$),則當(dāng)$\frac{1}{2}$<x≤1時(shí),f(x)=$\frac{1}{20}$(1-x)($\frac{1}{2}$-x),故①正確;
∵f(1-x)=-f(x),故函數(shù)圖象關(guān)于($\frac{1}{2}$,0)對(duì)稱(chēng),
又由f(0)=f(1)=0,
故函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)0,$\frac{1}{2}$,1.故②正確;
∵當(dāng)0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí),|f(x)|≤$\frac{1}{3}$x≤$\frac{1}{6}$;
當(dāng)$\frac{1}{2}$<x≤1時(shí),則1-x≤$\frac{1}{2}$,
|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤$\frac{1}{3}$(1-x)≤$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$.
∴?x∈[0,1],|f(x)|≤$\frac{1}{6}$恒成立,故③正確,
設(shè)?x1,x2∈[0,1],當(dāng)|x1-x2|≤$\frac{1}{2}$時(shí),|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|≤$\frac{1}{6}$,
當(dāng)|x1-x2|>$\frac{1}{2}$時(shí),|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|
≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|≤$\frac{1}{3}$|x1-0|+$\frac{1}{3}$|1-x2|
=$\frac{1}{3}$×1+$\frac{1}{3}$(1-x2)=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$(x2-x1)≤$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$.故④正確 
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,函數(shù)恒成立,函數(shù)的零點(diǎn),絕對(duì)值三角不等式等知識(shí)點(diǎn),難度中檔.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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