【題目】如圖,在直角梯形中,
,
,
,直角梯形
通過直角梯形
以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到,且使得平面
平面
.
為線段
的中點(diǎn),
為線段
上的動(dòng)點(diǎn).
()求證:
.
()當(dāng)點(diǎn)
滿足
時(shí),求證:直線
平面
.
()當(dāng)點(diǎn)
是線段
中點(diǎn)時(shí),求直線
和平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)直線和平面
所成角的正弦值為
.
【解析】試題分析:(1)建立空間坐標(biāo)系求兩直線的方向向量,根據(jù)點(diǎn)積為0可證的結(jié)論;(2)求得直線的方向向量和面的法向量,證得兩向量垂直即可;(3)求直線的方向向量和面的法向量的夾角即可.
解析:
由已知可得, ,
,
兩兩垂直,以
為原點(diǎn),
,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>,
所以,
,
,
,
,
,
.
()證明:
,
,
,
∴,
,
∴,
,
即,
,
∴平面
.
又∵平面
,
∴.
()設(shè)
點(diǎn)坐標(biāo)為
,則
,
.
∵,∴
,
,
,
解得: ,
,
,即
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,
∵,
,
∴,即
,
令,則
,
,得
.
又,
∴.
∴直線平面
.
()當(dāng)點(diǎn)
是線段
中點(diǎn)時(shí),
,
設(shè)的一個(gè)法向量為
.
∵,
,
∴,解
,
令,則
,
,得
.
設(shè)與平面
所成角為
,則
.
故直線和平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) 滿足
,且
.
(1) 求解析式;
(2)當(dāng)時(shí),
,求
的值域;
(3)若方程沒有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,
平面
,底面
是菱形,
,
,
.
為
與
的交點(diǎn),
為棱
上一點(diǎn),
(1)證明:平面⊥平面
;
(2)若三棱錐的體積為
,
求證: ∥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: +
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2 , 且橢圓E過點(diǎn)(0,
),(
,﹣
),點(diǎn)A是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn),且△AF1F2的面積S△
=
.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)P、Q,直線AP、AQ分別與x軸相交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)C( ,0),證明:|CM||CN|為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形ABCD是菱形,
是邊長為2的等邊三角形,
,
.
Ⅰ
求證:
底面ABCD;
Ⅱ
求直線CP與平面BDF所成角的大;
Ⅲ
在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得
平面BDF?如果存在,求
的值,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線L: (T為參數(shù))與曲線C:
(φ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)若α= ,若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,求直線AB的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的斜率為 ,點(diǎn)P(2,
),求|PA||PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)=
(1)寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)=
-m恰有3個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若≤n2-2bn+1對(duì)所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,
,
,
,
,
分別為
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)求證:在棱上存在一點(diǎn)
,使得平面
平面
;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】調(diào)查表明,市民對(duì)城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿意度有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為x、y、z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不滿意,1表示基本滿意,2表示滿意,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定居民對(duì)城市的居住滿意度等級(jí):若ω≥4,則居住滿意度為一級(jí);若2≤ω≤3,則居住滿意度為二級(jí);若0≤ω≤1,則居住滿意度為三級(jí),為了解某城市居民對(duì)該城市的居住滿意度,研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查,得到如下結(jié)果:
人員編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(x,y,z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (0,1,1) | (1,2,1) |
人員編號(hào) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
(x,y,z) | (1,2,2) | (1,1,1) | (1,2,2) | (1,0,0) | (1,1,1) |
(1)在這10名被調(diào)查者中任取兩人,求這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率;
(2)從居住滿意度為一級(jí)的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一人,其綜合指標(biāo)為m,從居住滿意度不是一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人,其綜合指標(biāo)為n,記隨機(jī)變量ξ=m﹣n,求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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