Question

4．設(shè)D、E是△ABC所在平面內(nèi)不同的兩點，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，則△ABE和△ABD的面積比$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}$為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可畫出圖形，將$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$帶入$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$進行向量的數(shù)乘運算即可得出$\overrightarrow{EC}=2\overrightarrow{BE}$，從而得出$BE=\frac{2}{3}BC$，并且$BD=\frac{1}{2}BC$，這樣便可求出$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}$的值．

解答 解：如圖，根據(jù)條件D為BC的中點，E在BC上；
由$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$得，
$\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{2}{3}（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{EC}=2\overrightarrow{BE}$；
∴$BE=\frac{1}{3}BC$，且$BD=\frac{1}{2}BC$；
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，向量減法的幾何意義，以及三點共線的充要條件，三角形的面積公式．