Question

17．設a＞b＞c，方程$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），試確定a，b，c，x₁，x₂的大小關系．

Answer 1

分析 由已知中$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂，故$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，進而得到結論．

解答 解：∵$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，
故$\frac{1}{{x}_{1}-a}，\frac{1}{{x}_{1}-b}，\frac{1}{{x}_{1}-c}$至少有一個小于0，又至少一個大于0，
$\frac{1}{{x}_{2}-a}，\frac{1}{{x}_{2}-b}，\frac{1}{{x}_{2}-c}$至少有一個小于0，又至少一個大于0，
又由a＞b＞c，x₁＜x₂，得：a＞x₂＞b＞x₁＞c．

點評 本題考查的知識點為不等式的性質，實數的性質，難度中檔．