Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-4lnx
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{2}$+3lnx-ax（a＞0），證明：函數(shù)g（x）有且僅有1個零點．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍結合函數(shù)的單調性以及根的判別式證明即可．

解答 （1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{2（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x}$，
故0＜x＜$\sqrt{2}$時，f′（x）＜0，x＞$\sqrt{2}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）遞減，在（$\sqrt{2}$，+∞）遞增；
（2）證明：g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+lnx-ax，g′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
令g′（0）=0，得：x²-ax+1=0，
當△=a²-4≤0，即0＜a≤2時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（x）最多只有一個零點；
∵g（x）=$\frac{1}{2}$x（x-2a）+lnx，0＜x＜2a且x＜1時，g（x）＜0，
當x＞2a且x＞1時，g（x）＞0，
∴g（x）有且只有一個零點；
當△=a²-4＞0，即a＞2時，不妨設方程x²-ax+1=0的兩根是x₁，x₂，（x₁＜x₂），
則0＜x₁＜1＜x₂，則在區(qū)間（0，x₁ ），（x₂，+∞）遞增，在（x₁，x₂）遞減，
由于${{x}_{1}}^{2}$-ax₁+1=0，∴g（x₁）=$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+lnx₁-ax₁=lnx₁-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$-1，
令h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$t²-1，t∈（0，1），則h′（t）=$\frac{1}{t}$-t＞0，
∴h（t）在（0，1）遞增，∴h（x₁）＜h（1）=-$\frac{3}{2}$＜0，
由此得g（x₂）＜g（x₁）＜0，
又∵x＞2a且x＞1時，g（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）有且只有一個零點，
綜上，a＞0時，g（x）有且只有一個零點．

點評 本題考察了函數(shù)的零點問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的單調性問題，滲透了轉化思想，數(shù)形結合思想，是一道綜合題．