Question

3．某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個(gè)半圓，固定
點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB，CD不重合）．
（Ⅰ）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，求此時(shí)三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積；
（Ⅱ）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f（x）
（Ⅲ）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí)，三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，MN應(yīng)位于DC上方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長(zhǎng)，由三角形面積公式求面積；
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈（0，$\frac{1}{2}$），由三角形面積公式建立面積模型．當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）時(shí)，由三角形面積公式建立面積模型；
（3）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當(dāng)中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的建設(shè)方案．

解答 解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí)，
MN應(yīng)位于DC上方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米，
又因?yàn)镋M=EN=1米，所以MN=$\sqrt{3}$米，
所以S_△EMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，
△EMN的面積S=$\frac{1}{2}$MN•（$\frac{1}{2}$-x）=$\frac{1}{2}$-x；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，即x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）時(shí)，
△EMN的面積S=（x-$\frac{1}{2}$）•$\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}$．
綜上可得S=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-x，x∈（0，\frac{1}{2}）}\\{（x-\frac{1}{2}）•\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}，x∈（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
則f（x）＜f（0）=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動(dòng)，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）•$\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}$
≤$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，等號(hào)成立時(shí)，x=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）．
因此當(dāng)x=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）（米）時(shí)，每個(gè)三角形得到最大通風(fēng)面積為$\frac{1}{2}$平方米．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數(shù)求最值以及基本不等式法等解題方法．