Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）≥x的解集；
（2）當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$時，求證：|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）．

Answer 1

分析 （1）寫出分段函數(shù)，即可求不等式f（x）≥x的解集；
（2）由（1）知，當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$時，1≤f（x）≤2，可得|a|f（x）≤2|a|．利用絕對值不等式即可證明．

解答 （1）解：由題$f（x）=|x-1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l}-2x+3，x≤1\\ 1，1＜x＜2\\ 2x-3，x≥2\end{array}\right.$，
∴f（x）≥x的解集為（-∞，1]∪[3，+∞）．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$時，1≤f（x）≤2
∴|a|f（x）≤2|a|．
又∵|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|≥2|a|，
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|≥|a|f（x），
即|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式性質(zhì)的運用，屬于中檔題．