Question

8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$的值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，并連接AE，得到AE⊥BC，根據(jù)條件可得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，從而$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，這樣帶入$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出該數(shù)量積的值．

解答 解：如圖，連接AE，則AE⊥BC；

根據(jù)條件，DE=$\frac{1}{2}AC$，且DE=2EF；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AE}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AE}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=$0+\frac{1}{4}×1×1×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 考查等邊三角形的中線也是高線，向量垂直的充要條件，向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算．