Question

已知函數(shù)．
（I）求f（x）的單調遞增 區(qū)間；
（II）a為何值時，函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導，令導數(shù)大于零，對a分情況討論，根據△的符號，即可求得結論；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點等價于方程f（x）=0在上有實根，分離參數(shù)得，，轉化為求函數(shù)的最值問題，即可求得結論．
解答：解：（I）f′（x）=
令f′（x）＞0⇒ax²-2x+1＞0
①若a=0，則，f（x）的遞增區(qū)間是；
②若a＜0，則△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的兩根，，
當時，＞0
∴f（x）的遞增區(qū)間是
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1時，
方程ax²-2x+1=0的兩根，，
此時f（x）的遞增區(qū)間為和
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1時f'（x）≥0
此時的遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（II）問題等價于方程f（x）=0在上有實根，
而f（x）=0?，
令，
再令ϕ（x）=x-xlnx-1，則ϕ'（x）=-lnx
當0＜x＜1時，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）↗，當x＞1時，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）↘
∴當x=1時，ϕ（x）取得唯一的極大值也是ϕ（x）的最大值（ϕ（x））_max=ϕ（1）=0
∴當x∈（0，+∞）時，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴當時，
故當時，函數(shù)f（x）在上有零點．
點評：掌握導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論和轉化的數(shù)學思想．