Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，，直線(xiàn)：（為參數(shù)，）.

（Ⅰ）求直線(xiàn)的普通方程；

（Ⅱ）在曲線(xiàn)上求一點(diǎn)，使它到直線(xiàn)的距離最短，并求出點(diǎn)的極坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 直線(xiàn)的普通方程為;(2) 點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)加減消元法得直線(xiàn)的普通方程，（2）由于曲線(xiàn)為圓，所以D為過(guò)圓心且垂直直線(xiàn)的直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)（取靠近直線(xiàn)的點(diǎn)），利用解方程組可得D直角坐標(biāo)，最后化為極坐標(biāo).

（Ⅰ）因?yàn)橹本�(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），

消去得直線(xiàn)的普通方程為.

（Ⅱ）因?yàn)榍�線(xiàn)：是以 為圓心，為半徑的圓，

設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離最短，

所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)：平行.

即直線(xiàn)與的斜率的乘積等于，即.

因?yàn)?/span>，解得或.所以點(diǎn) 或.

由于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為.