Question

定義數(shù)列，（例如時(shí)，）滿足，且當(dāng)（）時(shí)，.令．

（1）寫出數(shù)列的所有可能的情況；（5分）

（2）設(shè)，求（用的代數(shù)式來表示）；（5分）

（3）求的最大值.（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：

（1）；     （2）；

（3）；    （4）；

（5）；      （6）；

2個(gè)起評(píng)，對(duì)2個(gè)1分，3個(gè)2分，4個(gè)3分，5個(gè)4分，6個(gè)5分

（2）

．

（3）的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：

（1）；     （2）；

（3）；    （4）；

（5）；      （6）；

2個(gè)起評(píng)，對(duì)2個(gè)1分，3個(gè)2分，4個(gè)3分，5個(gè)4分，6個(gè)5分

（2），由，

則或（，），            6分

，

，

…

，

所以．                       7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031412273464835345/SYS201303141228249608728288_DA.files/image022.png">，所以，且為奇數(shù)，        8分

是由個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列．            9分

所以

．                 10分

（3）

則當(dāng)的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大，  12分

此時(shí)14分

證明如下：

假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則

的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中，，，．

所以     ．             

 

．    16分

所以的最大值為．                

考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，疊加法，應(yīng)用不等式求最值。

點(diǎn)評(píng)：綜合題，新定義數(shù)列問題，利用“疊加法”求得，對(duì)考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力起到了很好的作用。本題較難。