Question

已知等差數(shù)列{a_n}得前n項(xiàng)和為S_n，且a₂+a₃=2S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵a₁=1，a₂+a₃+a₄=9．
∴3a₁+6d=9，即3+6d=9，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

n(n+1)

2

．
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，屬于中檔題．