Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，求證：當(dāng)x＞-1時(shí)，恒有1-

1

x+1

≤ln（x+1）≤x．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,不等式的證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由（1）知f（0）為最小值，即f（x）≥f（0），由此可證ln（x+1）≤x；令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，利用導(dǎo)數(shù)可證明g（x）≥g（0），由此可證明ln（x+1）≥1-

1

x+1

．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得極大值f（0）=0，無極小值，
由（1）知，x=0為f（x）唯一的極大值點(diǎn)，也即最大值點(diǎn)，
所以當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，
所以ln（x+1）≤x；
令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，則g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以x=0是g（x）唯一的極小值點(diǎn)，也即最小值點(diǎn)，
所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+

1

x+1

-1≥0，
所以ln（x+1）≥1-

1

x+1

．
綜上，x＞-1時(shí)，有1-

1

x+1

≤ln（x+1）≤x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，其中特值探求k值是解決問題的“良方”．