Question

5．如圖，在四棱錐A-BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DB中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG．證面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．
（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}$，0），B（2，0，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0）．求出平面ACE的法向量即可

解答 證明：（1）取DB中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG．
∵F是AD的中點(diǎn)，∴FG∥AB．
∵BD=2CE，∴BG=CE．
∵∠DBC=∠BCE
∴E、G到直線BC的距離相等，則BG∥CB，
∵EG∩FG=G
∴面EGF∥平面ABC，則EF∥平面ABC．
解：（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)EC=1，則DB=2，取BC中點(diǎn)C，則EG∥BC，∴BC=3，
∵AD=DE，則A（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}$，0），B（2，0，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0）．
$\overrightarrow{AE}=（0，\sqrt{3，}-\sqrt{3}），\overrightarrow{EC}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{EB}=（2，-\sqrt{3}，0）$．
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=0
令y=1，則$；\\;\\;\\;\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，1）$$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，1）$，|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EB}＞$|=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
∴BE與平面ACE所成角的正弦值為：$\frac{3\sqrt{105}}{35}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，向量法求線面角，屬于中檔題．