Question

7．已知點(diǎn)E（-$\frac{p}{2}$，0），動(dòng)點(diǎn)A，B均在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值為（　�。�

• A． -2p²
• B． -p²
• C． 0
• D． 2p

Answer 1

分析 設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），可得向量EA，EB的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合配方法和非負(fù)數(shù)的概念，即可得到所求最小值0．

解答 解：設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），
則$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，y₁），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，y₂），
即有$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）•（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）+y₁y₂
=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²）+y₁y₂
=$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁y₂+p²）²+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）²≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁y₂+p²=0，y₁+y₂=0，取得等號(hào)．
則$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值為0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查配方的思想方法和非負(fù)數(shù)的概念，屬于中檔題．