Question

（本小題滿分10分）已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；

（2）討論方程解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1），（2）當(dāng)時(shí)，方程有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)方程有兩解．

【解析】

試題分析：第一步函數(shù)在處的切線方程為，切線斜率為1，由于,則

，而，第二步由于函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015041106054996601916/SYS201504110605578569249513_DA/SYS201504110605578569249513_DA.012.png">，，當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于，此時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，

，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015041106054996601916/SYS201504110605578569249513_DA/SYS201504110605578569249513_DA.021.png">，，則，函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有惟一解；當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上是減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極小值即為最小值，最后根據(jù)最小值分大于零、等于零、小于零三種情形對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)實(shí)施討論，給出各種情形的答案即可；

試題解析：（1）因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015041106054996601916/SYS201504110605578569249513_DA/SYS201504110605578569249513_DA.019.png"> ，又在處的切線方程為

所以 解得：

（2）當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于，此時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，在上恒成立， 所以在定義域上為增函數(shù)。，，所以方程有惟一解。

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，有極小值即為最小值

當(dāng)時(shí)，，此方程無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，此方程有惟一解。

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015041106054996601916/SYS201504110605578569249513_DA/SYS201504110605578569249513_DA.055.png">且，所以方程在區(qū)間上有惟一解， 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以 ，所以 ，因?yàn)? ，所以 所以 方程在區(qū)間上有惟一解。所以方程在區(qū)間上有兩解。

綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)方程有兩解。

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點(diǎn)；3．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；