Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），函數(shù)f_n（x）=x²+3nx+a_n．若對一切正整數(shù)n，數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)b_n與b_n+1是函數(shù)f_n（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且b₁₀=-10，則a₅₀=

5600

．

Answer 1

分析：由已知，b_n與b_n+1是函數(shù)f_n（x）=x²+3nx+a_n的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即b_n與b_n+1是方程x²+3nx+a_n=0兩個(gè)不同的根．
由韋達(dá)定理b_n+b _n+1，=-3n，且a_n=b_nb _n+1，．探求出b _n+2-b_n=-3，數(shù)列{b_n}中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列．再利用b₁₀+b₁₁，=-30，由b₁₀=-10，得b₁₁，=-20．求出b₅₀，b₅₁再求出a₅₀．

解答：解：由已知，b_n與b_n+1是函數(shù)f_n（x）=x²+3nx+a_n的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即b_n與b_n+1是方程x²+3nx+a_n=0兩個(gè)不同的根．
由韋達(dá)定理b_n+b _n+1，=-3n，①且a_n=b_nb _n+1，．③
所以b_n+1+b _n+2=-3（n+1），②
②-①得，b _n+2-b_n=-3，為常數(shù)，
所以數(shù)列{b_n}中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列．
由b₁₀與b₁₁是函數(shù)f₁₀（x）=x²+30x+a₁₀的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即b₁₀與b₁₁是方程x²+30x+a₁₀=0兩個(gè)不同的根．
由韋達(dá)定理b₁₀+b₁₁，=-30，由b₁₀=-10，得b₁₁=-20．
所以b₅₀=b₁₀+20×（-3）=-10-60=-70
b₅₁=b₁₁+20×（-3）=-20-60=-80．
由③得出a₅₀=b₅₀b₅₁=5600
故答案為：5600．

點(diǎn)評：本題考查變形構(gòu)造推理、計(jì)算能力，考查了等差數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解，以及函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)．