Question

10．求曲線xy=1在點P（x₀，y₀）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 由xy=1即y=$\frac{1}{x}$，求得導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0得到y(tǒng)，x軸的截距，運用三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：xy=1即y=$\frac{1}{x}$的導數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有曲線點P（x₀，y₀）處的切線的斜率為k=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切點為（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），
可得點P（x₀，y₀）處的切線的方程為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令x=0可得，y=$\frac{2}{{x}_{0}}$；令y=0可得x=2x₀，
即有切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$•|2x₀|•|$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，屬于基礎題．