已知半徑為5的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標是整數(shù),且與直線相切.
求:(1)求圓的方程;
(2)設直線與圓相交于兩點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù),使得過點的直線垂直平分弦?
若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
(1)(2)
(3)
解析試題分析:(1)設圓心為(),利用直線與圓相切的位置關(guān)系,根據(jù)點到直線的距離公式列方程解得的值,從而確定圓的方程;
(2)直線與圓交于不同的兩點,利用圓心到直線的距離小于圓的半徑列不等式從而解出實數(shù)的取值范圍;
(3)根據(jù)圓的幾何性質(zhì),垂直平分弦的直線必過圓心,從而由兩點確定直線的斜率,進一步由兩直線垂直的條件確定實數(shù)的值.
試題解析:(1)設圓心為().
由于圓與直線相切,且半徑為,所以,,
即.因為為整數(shù),故.
故所求的圓的方程是.
(2)直線即.代入圓的方程,消去整理,得
.由于直線交圓于兩點,
故,即,解得 ,或.
所以實數(shù)的取值范圍是.
(3)設符合條件的實數(shù)存在,由(2)得,則直線的斜率為,
的方程為,即.
由于垂直平分弦,故圓心必在上.
所以,解得.由于,
所以存在實數(shù),使得過點的直線垂直平分弦.
考點:1、圓的標準方程;2、直線與圓的位置關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,圓與坐標軸交于點.
⑴求與直線垂直的圓的切線方程;
⑵設點是圓上任意一點(不在坐標軸上),直線交軸于點,直線交直線于點,
①若點坐標為,求弦的長;②求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)求證:不論m取什么實數(shù),直線l與圓C恒交于兩點;
(2)求直線被圓C截得的弦長最小時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標軸有三個交點.記過三個交點的圓為圓C.
(1)求實數(shù)b的取值范圍;
(2)求圓C的方程;
(3)圓C是否經(jīng)過定點(與b的取值無關(guān))?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點M、N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是坐標原點O,半徑為r1=13;圓弧C2過點A(29,0).
(1)求圓弧C2所在圓的方程;
(2)曲線C上是否存在點P,滿足PA=PO?若存在,指出有幾個這樣的點;若不存在,請說明理由;
(3)已知直線l:x-my-14=0與曲線C交于E、F兩點,當EF=33時,求坐標原點O到直線l的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓.
(1)已知不過原點的直線與圓相切,且在軸,軸上的截距相等,求直線的方程;
(2)求經(jīng)過原點且被圓截得的線段長為2的直線方程.
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