Question

已知f(x2-5)=loga

x2

10-x2

(a＞0，且a≠1)．
（1）求f（x）的解析式，并寫出定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）當a＞1時，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數解析式的求解及常用方法,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）通過令x²-5=t，求出x，將t與x代入已知表達式，求出f（x）通過已知條件求出函數的定義域．
（2）通過（1）函數的表達式，利用奇偶性的定義判斷證明即可．
（3）利用對數函數的單調性將符號f脫去，直接求解二次不等式，得到不等式的解集．

解答： 解：：（1）令x²-5=t，則x²=t+5．
∴f(x2-5)=loga

x2

10-x2

化為f（t）═loga

t+5

10-t-5

=loga

t+5

5-t

．
∴f(x)=loga

x+5

5-x

，要使函數有意義，必須

x+5

5-x

＞0，解得x∈（-5，5）．
（2）∵函數的定義域關于原點對稱，∴f(-x)=loga

-x+5

5-(-x)

=-loga

x+5

5-x

=-f（x）．
∴函數是奇函數．
（3）當a＞1時，f（x）≥0成立，
即loga

x+5

5-x

＞0
⇒loga

x+5

5-x

＞loga1，
∴

x+5

5-x

＞1
⇒

x+5

5-x

-1＞0
⇒

x+5+x-5

5-x

＞0
⇒

2x

x-5

＜0，
解得x∈[0，5）．

點評：本題考查對數不等式的解法，函數的解析式的求法，函數的定義域以及函數的奇偶性的判斷與證明，考查計算能力．