Question

已知點(diǎn)A（1，a），圓x²+y²=4．
（1）若過點(diǎn)A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；
（2）若過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切，求切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，經(jīng)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條，因此點(diǎn)A在圓x²+y²=4上，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓的方程，解出a=±

3

．再由點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線的斜率公式算出切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡即可得到所求切線的方程；
（2）設(shè)所求切線的方程為x+y-m=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于m的等式，解之得m=±2

2

，從而得出經(jīng)過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的圓的切線方程．

解答： 解：（1）圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑r=2．
∵過點(diǎn)A的圓的切線只有一條，
∴點(diǎn)A（1，a）是圓x²+y²=4上的點(diǎn)，可得1²+a²=4，解之得a=±

3

．
①當(dāng)a=

3

時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，

3

），可得OA的斜率k=

3 -0

1-0

=

3

．
∴經(jīng)過點(diǎn)A的切線斜率k'=

-1

k

=-

3

3

，
因此可得經(jīng)過點(diǎn)A的切線方程為y-

3

=-

3

3

（x-1），化簡得x+

3

y-4=0；
②當(dāng)a=-

3

時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-

3

），
利用與①類似的方法進(jìn)行計(jì)算，可得經(jīng)過點(diǎn)A的切線方程為x-

3

y-4=0．
∴若過點(diǎn)A的圓的切線只有一條，則a的值為±

3

，相應(yīng)的切線方程方程為x+

3

y-4=0和x-

3

y-4=0．
（2）設(shè)過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線，
它在兩軸上的截距都為m，可得它的方程為x+y-m=0，
∵直線與圓x²+y²=4相切，
∴圓心到直線的距離等于半徑，即

|0+0-m|

2

=2，解之得m=±2

2

．
因此，過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的圓的切線方程為x+y±2

2

=0．

點(diǎn)評：本題給出圓的方程與點(diǎn)A的坐標(biāo)，求經(jīng)過點(diǎn)A的圓的切線方程．著重考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．