Question

設函數(shù)f(x)是定義在[－1，0)∪(0，1]上的偶函數(shù)，當x∈[－1，0)時，f(x)＝x³－ax(a∈R)．

(1)當x∈(0，1]時，求f(x)的解析式；

(2)若a＞3，試判斷f(x)在(0，1]上的單調性，并證明你的結論；

(3)是否存在a，使得當x∈(0，1]時，f(x)有最大值1？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵x∈(0，1]時，－x∈[－1，0)， 　　∴f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝ax－x3． 　　又f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝ax－x3． 　　(2)f(x)在(0，1]上單調遞增．理由如下：(x)＝－3x2＋a．∵x∈(0，1]，∴x2∈(0，1]． 　　∴－3x2≥－3． 　　∵a＞3，∴－3x2＋a＞0．故f(x)在(0，1]上為增函數(shù)． 　　(3)假設存在a，使得當x∈(0，1]時，f(x)有最大值1． 　　∴(x)＝a－3x2．令(x)＝0，∴－3x2＋a＝0， 　　即a＞0時，x＝±．又∵x∈(0，1]，∴x＝且＜1．∴(x)在(0，)上大于0，在(，1)上不小于0． 　　∴f(x)極大值＝ 　　∴a＝時，f(x)有最大值1． 　　分析：此題具有較強的綜合性，應注意知識之間的相互轉化和相互聯(lián)系． 　　綠色通道：關于存在性問題，處理的方法可以先假設存在，再尋找所得的結論．