Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．SD=2DC=2
（1）證明EF∥平面SAD；
（2）求EF與平面ABCD成角的大�。�
（3）求四面體F-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）取SD的中點(diǎn)G，通過證明四邊形AEFG為平行四邊形，證明AG∥EF，再由線線平行證明線面平行；
（2）取CD的中點(diǎn)O，可證FO⊥平面ABCD，證明∠FEO為線面角，再解三角形求得；
（3）由（2）FO為四棱錐的高，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，代入公式計(jì)算求得．

解答：解：（1）分別取CD、SD的中點(diǎn)O、G，連接FG、AG，OF，
∵E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)，∴FG∥OD∥AE，F(xiàn)G=DO=AE，
∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴EF∥AG，
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）∵O、F分別是SC、DC的中點(diǎn)，∴FO∥SD，F(xiàn)O=

1

2

SD=1，
∵SD⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，∴EO為EF在平面ABCD中的射影，
∴∠FEO為直線EF與平面ABCD所成的角，
在Rt△EFO中，OE=AD=1，tan∠FEO=

FO

EO

=1，
∴EF與平面ABCD所成的角為

π

4

；
（3）∵底面ABCD為正方形，F(xiàn)O⊥平面ABCD，F(xiàn)O=1，
∴V_F-ABCD=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，直線與平面所成角的定義及求法，考查了棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．