Question

19．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD滿(mǎn)足AC=BD，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)．
（1）求證：∠ACE=∠BCD；
（2）若BE=9，CD=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等弧所對(duì)的圓周角相等和圓的弦切角定理，即可得證；
（2）由圓的弦切角定理和三角形的相似的判定定理可得△BEC∽△CBD，由性質(zhì)定理計(jì)算即可得到所求BC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：由AC=BD
即有弧AC的長(zhǎng)等于弧BD的長(zhǎng)，
可得∠ABC=∠BCD，
又EC為圓的切線(xiàn)，
可得∠ACE=∠ABC，
即有∠ACE=∠BCD，
（2）解：由EC為圓的切線(xiàn)，
可得∠CDB=∠BCE，
由（1）可得∠ABC=∠BCD，
即有△BEC∽△CBD，
可得$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，
由BE=9，CD=1，
則BC²=CD•BE=9，
即BC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的弦切角定理和三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．