Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx（a∈R）．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當x＞1時，不等式f（x）＜x²-$\frac{1}{2}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-2時，求得函數(shù)的解析式，當f（x）＞0，求的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當x＞1時，將與不等式轉(zhuǎn)化成a＜$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，對于?x∈（1，+∞）恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最小值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，（x＞0）
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$，
當f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解的：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{2}$，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$）；
（2）當x＞1時，不等式f（x）＜x²-$\frac{1}{2}$恒成立，即不等式$\frac{1}{2}$x²+alnx＜x²-$\frac{1}{2}$，對?x∈（1，+∞）恒成立，
又x＞1時，lnx＞0，
∴不等式a＜$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，對于?x∈（1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2lnx}$，g（x）=$\frac{2（{x}^{2}-1）lnx-\frac{2}{x}（{x}^{2}-1）}{（2lnx）^{2}}$=$\frac{2xlnx-x+\frac{1}{x}}{2（lnx）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}lnx-{x}^{2}+1}{2x（lnx）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題的綜合運用，考查導數(shù)的運算法則，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．