Question

19．已知xe^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，求證f（x）＜$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 通過分析只需證明$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$成立即可，通過記g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$、求導(dǎo)可知g′（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$（${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$），再通過對(duì)h（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$求導(dǎo)、計(jì)算可知h（x）＞h（0）=0，進(jìn)而可知函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，從而1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$＞0，進(jìn)而證明了$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 證明：∵xe^-f（x）=1-e^-x，
∴e^-f（x）=$\frac{1}{x}$（1-e^-x），
故只需證：$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
記g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$，則g′（x）=e^-x-${e}^{-\frac{x}{2}}$+$\frac{x}{2}$•${e}^{-\frac{x}{2}}$=${e}^{-\frac{x}{2}}$（${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$），
記h（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$，則h′（x）=-$\frac{1}{2}$•${e}^{-\frac{x}{2}}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$＞g（0）=0，
∴$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
從而e^-f（x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
∴-f（x）＞-$\frac{x}{2}$，f（x）＜$\frac{x}{2}$，
又∵0＜x＜m，
∴f（x）＜$\frac{x}{2}$＜$\frac{m}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．