Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若，求a+c的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由二倍角的余弦公式和降冪公式，將已知等式化簡得2cos²B+cosB-1=0，結合三角形內角的范圍解出，即可得到角B的大��；
（II）由正弦定理結合題中數據，算出a=2sinA且c=2sinC，從而a+c=2（sinA+sinC）=2[sinA+sin（A+）]，展開合并后利用輔助角公式，化簡得a+c=，最后根據三角函數的圖象與性質和角A的范圍，算出當時，a+c的最大值為．
解答：解：（I）∵cos2B=2cos²B-1，sin²=（1-cosB）
∴由，得2cos²B+cosB-1=0，…（2分）
解之得或cosB=-1
∵B∈（0，π），得-1＜cosB＜1，
∴舍去cosB=-1得，…（5分）
因此可得．…（7分）
（Ⅱ）∵B=且b=
∴，得 …（9分）
∴
=2[sinA+（sinAcos+cosAsin）]=2（）=． …（11分）
∵，∴，可得，…（13分）
因此，當時，即時，a+c的最大值為．…（14分）
點評：本題給出關于B的三角函數方程，求角B的大小，并在已知邊b的情況下求a+c的最大值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質和正弦定理等知識，屬于中檔題．