【題目】(本題滿分15分)如圖,已知四棱錐PABCDPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCADCDAD,PC=AD=2DC=2CB,EPD的中點(diǎn).

)證明:CE平面PAB;

)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】見解析;.

【解析】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,直線與平面學(xué)科&網(wǎng)所成的角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

)如圖,設(shè)PA中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,FB.

因為E,F分別為PD,PA中點(diǎn),所以EFAD,

又因為BCAD,所以

EFBCEF=BC,

即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF,

因此CE平面PAB.

)分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N.連結(jié)PNEF于點(diǎn)Q,連結(jié)MQ.

因為E,F,N分別是PDPA,AD的中點(diǎn),所以QEF中點(diǎn),

在平行四邊形BCEF中,MQCE.

PAD為等腰直角三角形得

PNAD.

DCAD,NAD的中點(diǎn)得

BNAD.

所以 AD平面PBN,

BCADBC平面PBN,

那么,平面PBC平面PBN.

過點(diǎn)QPB的垂線,垂足為H,連結(jié)MH.

MHMQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

設(shè)CD=1.

PCD中,由PC=2,CD=1,PD=CE=

PBN中,由PN=BN=1,PB=QH=,

RtMQH中,QH=MQ=,

所以sinQMH=

所以,直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.

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