Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2 ， 使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f（n）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè) ，cn= ，{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 若Tn＞2n+t對任意n∈N，n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素得△=a2﹣4a=0，

解得a=0或a=4．

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；

當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上單調(diào)遞減，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

綜上，f（x）=x2﹣4x+4

（2）

解：由（1）知： ．

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣4n+4）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]=2n﹣5．

∴an=

（3）

解：∵ = ，∴b1=27，b2=9， ，

∴當(dāng)n≥2時(shí)， = ，

∴當(dāng)n≥2時(shí)， ，

Tn＞2n+t對n∈N，n≥2恒成立等價(jià)于t＜ 對n∈N，n≥2恒成立，

而 是關(guān)于n的增函數(shù)，∴當(dāng)n=2時(shí)，（Tn）min=16，

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是t＜16

【解析】（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素得△=0，解得a=0或a=4．對a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（2）由（1）知： ．當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ． 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 即可得出．（3）由（2）及其已知可得bn ， cn ， Tn ， 再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．