Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n+S_n=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=(

1

2-log2an

)2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：a_n=4-S_n，所以當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1所以可得2a_n=a_n-1，所以得到數(shù)列{a_n}等比數(shù)列，進(jìn)而得到答案．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到bn=

1

n2

，所以T_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，有

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

成立，所以利用裂相求和的方法即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：a_n=4-S_n，所以當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，所以2a_n=a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以an=(

1

2

)n-2．
（2）因?yàn)?span id="omjwnqi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">bn=(

1

2-log2an

)2，所以由（1）可得bn=

1

n2

，所以T_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，有

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

成立．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

．
所以1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

，
即當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜

2n-1

n

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)的方法與數(shù)列求和的方法，以及利用放縮法證明不等式的方法．