Question

16．已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥2（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）

Answer 1

分析 通過基本不等式$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$可知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4•$\frac{1}{a+b}$，利用對稱性相加即得結(jié)論．

解答 證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4•$\frac{1}{a+b}$，
同理可知$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥4•$\frac{1}{b+c}$，
$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥4•$\frac{1}{c+a}$，
三式相加可知：2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）≥4（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥2（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．