Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+a_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

1

an2

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2an=an2-an-12+an-an-1，化簡(jiǎn)得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）當(dāng)n≥3時(shí)，利用放縮法和裂項(xiàng)求和法能證明T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵2Sn=an2+an…①，∴2a1=a12+a1，
解得a₁=1或0（舍），
且2Sn-1=an-12+an-1…②，
①-②得2an=an2-an-12+an-an-1，
化簡(jiǎn)得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1-1=0，即a_n=a_n-1+1，
∴{a_n}為等差數(shù)列，a_n=n，
經(jīng)檢驗(yàn)，a₁=1也符合該式，
∴a_n=n．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)n≥3時(shí)，

Tn= 1 12 + 1 22 + 1 32 +… 1 n2 =1+ 1 2 ( 2 22 + 2 32 +… 2 n2 ) = 1 2 (1+1+ 1 22 + 1 22 + 1 32 + 1 32 +…+ 1 n2 + 1 n2 ) ＞ 1 2 (1+2 1× 1 22 +2 1 22 × 1 32 +…+2 1 (n-1)2 × 1 n2 + 1 n2 ) = 1 2 (1+ 2 1×2 + 2 2×3 +…+ 2 (n-1)×n + 1 n2 ) = 1 2 (1+ 2 1 - 2 2 + 2 2 - 2 3 +…+ 2 (n-1) - 2 n + 1 n2 ) = 1 2 (3- 2 n + 1 n2 )= 3 2 + 1-2n 2n2

∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．