Question

6．在直角坐標(biāo)系中，如果不同兩點(diǎn)A（a，b），B（-a，-b）都在函數(shù)y=H（x）的圖象上，則稱點(diǎn)對(duì)[A，B]為函數(shù)H（x）的一組“文雅點(diǎn)”（[A，B]與[B，A]看作一組），已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=$\sqrt{2}$•f（x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，且函數(shù)H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x≤8}\\{g（x），-8≤x＜0}\end{array}\right.$ 的“文雅點(diǎn)”有4組，則g（x）的表達(dá)式可以為（

• A． g（x）=m，其中m為常數(shù)，且m∈（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）
• B． g（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x
• C． g（x）=m，其中m為常數(shù)，且m∈（-2，-$\sqrt{2}$）
• D． g（x）=-ln（-x）

Answer 1

分析 根據(jù)文雅點(diǎn)”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)g（x），-8≤x＜0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，利用對(duì)稱圖象在0＜x≤8上兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為“文雅點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x+2）=$\sqrt{2}$•f（x），得f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2），
若x∈[2，4]，則x-2∈[0，2]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=$\sqrt{2}$•sin$\frac{π}{2}$（x-2），
若x∈[4，6]，則x-2∈[2，4]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=2•sin$\frac{π}{2}$（x-4），
若x∈[6，8]，則x-2∈[4，6]，則f（x）=$\sqrt{2}$•f（x-2）=2$\sqrt{2}$•sin$\frac{π}{2}$（x-6），
若函數(shù)H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x≤8}\\{g（x），-8≤x＜0}\end{array}\right.$ 的“文雅點(diǎn)”有4組，
則等價(jià)為當(dāng)-8≤x＜0時(shí)，g（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與f（x）在0＜x≤8上有四個(gè)交點(diǎn)，
A．g（x）=m，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=m，即y=-m，m∈（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
作出對(duì)應(yīng)的圖象得此時(shí)y=-m與f（x）有2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．

B．g（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=-（$\frac{1}{2}$）^-x，即y=（$\frac{1}{2}$）^-x=2^x
作出對(duì)應(yīng)的圖象得此時(shí)y=2^x與f（x）有0個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
，
C．g（x）=m，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=m，即y=-m，m∈（-2，-$\sqrt{2}$），
作出對(duì)應(yīng)的圖象得此時(shí)y=-m與f（x）有4個(gè)交點(diǎn)，滿足條件．

D．g（x）=-ln（-x），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=-lnx，即y=lnx，
作出對(duì)應(yīng)的圖象得此時(shí)y=lnx與f（x）有6個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大，求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．