解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋c定義在區(qū)間[0，1]上，x1、x2∈[0，1]且x1≠x2．

求證：(1)f(0)＝f(1)；

(2)|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|；

(3)|f(x2)－f(x1)|＜1．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵f(x)＝x3－x＋c，∴f(0)＝c，

　　∴f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．

　　(2)|f(x2)－f(x1)|＝|(x23－x2＋c)－(x13－x1＋c)|

　�。絴(x23－x13)－(x2－x1)|

　　＝|x2－x1|·|x22＋x12＋x1x2－1|．

　　∵x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，

　　∴x22＋x12＋x1x2∈(0，3)．

　　∴|x22＋x12＋x1x2－1|＜2，

　　∴|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|．

　　(3)∵f(0)＝f(1)，

　　∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|＜2|x2－1|＋2|0－x1|．

　　又∵x1，x2∈[0，1]

　　∴|f(x2)－f(x1)|＜2(1－x2)＋2x1＝2－2x2＋2x1　　①

　　當x2＞x1時，|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|＝2x2－2x1　�、�

　　①＋②得|f(x2)－f(x1)|＜1．

　　同理可證，當x2＜x1時，也有|f(x2)－f(x1)|＜1．


練習冊系列答案
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(1)求f(x)的解析式；

(2)(文)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(理)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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