Question

12．已知{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}為空間的單位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，若m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，則實數(shù)m的值為（　�。�

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{16}{9}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，由m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，可得：（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，即-（m+6）-5（-2m+2）=0，解得答案．

解答 解：∵{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}為空間的單位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，
∴m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，
2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，
又∵m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，
∴（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴-（m+6）-5（-2m+2）=0，
解得：m=$\frac{16}{9}$，
故選：B

點評 本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．