Question

如圖，以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A，點B，P在單位圓上，且B(-

5

5

，

2 5

5

)，∠AOB=α．
（1）求

4cosα-3sinα

5cosα+3sinα

的值；
（2）設(shè)∠AOP=θ(

π

6

≤θ≤

2

3

π)，

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S，f(θ)=(

OA

•

OQ

-1)2+

2

S-1，求f（θ）的最值及此時θ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）依題意，可求得tanα=2，將

4cosα-3sinα

5cosα+3sinα

中的“弦”化“切”即可求得其值；
（2）利用向量的數(shù)量積的坐標運算可求得f（θ）=-sin²θ+

2

sinθ；θ∈[

π

6

，

2π

3

]⇒

1

2

≤sinθ≤1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得f（θ）的最值及此時θ的值．

解答： 解：（1）依題意，tanα=

2 5 5

- 5 5

=-2，
∴

4cosα-3sinα

5cosα+3sinα

=

4-3tanα

5+3tanα

=

4-3×(-2)

5+3×(-2)

=-10；
（2）由已知點P的坐標為P（cosθ，sinθ），
又

OQ

=

OA

+

OP

，|

OA

|=|

OP

|，
∴四邊形OAQP為菱形，
∴S=2S_△OAP=sinθ，
∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OQ

=1+cosθ，
∴f（θ）=（1+cosθ-1）²+

2

sinθ-1
=cos²θ+

2

sinθ-1
=-sin²θ+

2

sinθ，
∵

1

2

≤sinθ≤1，
∴當sinθ=

2

2

，即θ=

π

4

時，f（θ）_max=

1

2

；
當sinθ=1，即θ=

π

2

時，f（θ）_max=

2

-1．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標運算，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．