Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N*，且${a_4}=\frac{π}{2}$，若函數(shù)$f（x）=sin2x+2{cos^2}\frac{x}{2}$，記y_n=f（a_n），則{y_n}的前7項(xiàng)和為7．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π，f（x）=sin2x+cosx+1，由此能求出數(shù)列{y_n}的前7項(xiàng)和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N*，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵${a_4}=\frac{π}{2}$，∴a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π
∵$f（x）=sin2x+2{cos^2}\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∵a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=2a₄=π
∴sin2a₁+sin2a₇=sin（2π-2a₇）+sin2a₇=-sin2a₇+sin2a₇=0，
cosa₁+cosa₇=cos（π-a₇）+cosa₇=-cosa₇+cosa₇=0，
∴f（a₁）+f（a₇）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₇+cosa₇+1=2
同理f（a₂）+f（a₆）=f（a₃）+f（a₅）=2
∵f（a₄）=sinπ+cos$\frac{π}{2}$+1=1，
∴數(shù)列{y_n}的前7項(xiàng)和為7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．